已知函数f（x）=1/2x^2-lnx 若g（x）=-2/3x^3+X^2.证明当X>1时,函数f（x）的图像恒在g（x）的上方.

令函数F(x)=f(x)-g(x)
即F(x)=1/2x²-lnx+2/3x³-x²=2/3*x³-lnx-1/2*x²
∴F'(x)=2x²-1/x-x=(2x³-x²-1)/x=(x-1)(2x²+x+1)/x
∵x＞1
∴F'(x)＞0
因此当x＞1时 函数F(x)是单调递增函数
即F(x)＞F(1)=2/3-1/2=1/6＞0
∴F(x)在x＞1时 恒大于0 即f(x)恒大于g(x).
即X>1时，函数f（x）的图像恒在g（x）的上方。

分析,要证明f(x)的图像恒在g(x)的上方,
即是证明,当x>1时,f(x)>g(x)
即是证明,1/2*x²-lnx>-2/3*x³+x²
即是证明,2/3*x³-1/2*x²-lnx>0.
证明：
设t(x)=2/3*x³-1/2*x²-lnx
t'=2x²-x-1/x
=(2x³-x²-1)/x
=(x-1)(2x²+x+1)/x
当x>1时,x-1>0,2x²+x+1＞0
∴t'＞0
∴t在(1,+∞)上增函数,
因此,t(x)>t(1)=2/3-1/2=1/6>0
∴2/3*x³-1/2*x²-lnx＞0
即是,1/2*x²-lnx>-2/3*x³+x²
因此,当X>1时,函数f（x）的图像恒在g（x）的上方.