函数f(x)=x^2与函数g(x)=-2(x+m)的交点为P(x0,y0),其中m为奇数,求证X0为无理数
问题描述：
函数f(x)=x^2与函数g(x)=-2(x+m)的交点为P(x0,y0),其中m为奇数,求证X0为无理数
答
若函数f(x)与函数g(x)有交点，P(x0,y0)，则x^2=-2(x+m)， 即得x0^2+2x0+2m=0
▽=2*根号下（1-2m）
下面单独讨论1-2m
用反证法
假设m为奇数,X0为有理解，则m因为1-2m为奇数，所以根号下（1-2m）也为奇数
令根号下（1-2m）=2n+1(n为整数)
则1-2m=4n^2+4n+1
所以m= -2(n^2+n)为偶数
与m为奇数矛盾
所以X0为无理数
答
用反证法
假设X0为有理数,则可设X0=P/Q,P,Q互质,
函数f(x)与函数g(x)有交点,P(x0,y0),则x^2=-2(x+m),即得x0^2+2x0+2m=0
则（P/Q）^2+2P/Q+2m=0,两边同乘以Q^2,得P^2=2(-mQ^2-PQ),则P^2是偶数,P也是偶数
可设P=2k,k是整数,则上式为4k^2=2(-mQ^2-2kQ),推出mQ^2=-2(k^2+kQ),
因为m是奇数,则Q^2是偶数,Q也是偶数,这与P,Q互质相矛盾,所以X0为无理数.