定义在R上的函数y=f(x-1)+1的图像关于点(1,1)对称 且恒有f(1+x)=f(1-x),则f(2012)=?
问题描述：
定义在R上的函数y=f(x-1)+1的图像关于点(1,1)对称 且恒有f(1+x)=f(1-x),则f(2012)=?
答
定义在R上的函数y=f(x-1)+1的图像关于点(1,1)对称
设点A(x,y)在函数图像上，得：
y=f(x-1)+1............................1
则它关于点(1,1)的对称点(2-x,2-y)也在图像上，可得：
2-y=f(2-x-1)+1
得：y=-f(1-x)+1....................2
联立1，2可得：
f(x-1)=-f(1-x) 说明：f(x)是奇函数。有f(0)=0
f(1+x)=f(1-x) 说明此函数以2为周期，所以有：
f(2012)=f(0)=0
答
函数y=f(x-1)+1的图像关于点(1,1)对称
则y=f(x)的图像关于点(0,0)对称 f(0)=0
且恒有f(1+x)=f(1-x),
则y=f(x)的图像关于x=1对称
所以y=f(x)是周期为4的周期函数
f(2012)=f(0)=0