已知二次函数f（x）的二次项系数为a，且不等式f（x）＞2x的解集为（1，3）．（1）若方程f（x）+6a=0有两个相等的根，求f（x）的解析式；（2）若函数f（x）的最大值不小于8，求实数a的取值范围．
问题描述：
已知二次函数f（x）的二次项系数为a，且不等式f（x）＞2x的解集为（1，3）．
（1）若方程f（x）+6a=0有两个相等的根，求f（x）的解析式；
（2）若函数f（x）的最大值不小于8，求实数a的取值范围．
答
设f（x）=ax2+bx+c，
则f（x）＞2x⇔ax2+（b-2）x+c＞0．
已知其解集为（1，3），
∴
a＜0 −
＝4⇔b＝2−4ab−2 a
＝3⇔c＝3ac a
∴f（x）=ax2+（2-4a）x+3a．
（1）若f（x）+6a=0有两个相等的根，
故ax2-（4a-2）x+9a=0，
△=4+16a2-16a-36a2=0，
解得a=-1或
（舍去正值），1 5
∴a=-1即f（x）=-x2+6x-3；
（2）由以上可知f（x）=a（x-
）2+2a−1 a
，−a2+4a−1 a
∴f（x）max=
≥8，−a2+4a−1 a
得a2-4a+1≥-8a⇔a2+4a+1≥0，
解得a≥-2+
或a≤-2-
3
3
又∵a＜0，
∴a的取值范围是（-∞，-2-
）∪[-2+
3
，0）．
3
答案解析：（1）设出二次函数f（x）的一般式，根据不等式的解即为方程的根，求出a，b，c的关系式，再根据方程有两相等的实根的条件：判别式为0，解出a，从而得出函数f（x）的解析式；
（2）将函数f（x）配方，求出函数f（x）的最大值，再解不等式，注意a＜0．
考试点：二次函数的性质；函数解析式的求解及常用方法．
知识点：本题考查了二次函数的解析式的求法：待定系数法，同时考查二次方程根与系数的关系以及二次不等式的解法，二次函数的最值及应用，考查运算能力，是一道好题．