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已知函数f（x）=3sinxcosx-cos（2x+π3）-cos2x （Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及单调增区间；（Ⅱ）若函数f（x）的图象向右平移m（m＞0）个单位后，得到的图象关于原点对称，求实数m的最小值．

分类: 作业答案 • 2021-12-20 09:18:38

问题描述：

已知函数f（x）=

3

sinxcosx-cos（2x+

π

3

）-cos²x
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及单调增区间；
（Ⅱ）若函数f（x）的图象向右平移m（m＞0）个单位后，得到的图象关于原点对称，求实数m的最小值．

答

（Ⅰ）f（x）=

3

2

sin2x-（cos2xcos

π

3

-sin2xsin

π

3

）-

cos2x+1

2

=

3

sin2x-cos2x-

1

2

=2sin（2x-

π

6

）-

1

2

，
∴f（x）的最小正周期T=π．
当2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z）．
即有kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

（k∈Z）时，函数f（x）单调递增，
故所求区间为[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]（k∈Z）；
（Ⅱ）函数f（x）的图象向右平移m（m＞0）个单位后得：
g（x）=2sin[2（x-m）-

π

6

]-

1

2

，
要使g（x）的图象关于原点对称，只需要-2m-

π

6

=kπ（k∈Z），
即有m=

k

2

π−

π

12

，所以m的最小值为

5π

12

．