有n个数x1,x2,…,xn,它们中的每一个数或者为1,或者为-1.如果x1x2+x2x3+…+xn-1xn+xnx1=0,求证:n是4的倍数.

问题描述:

有n个数x1,x2,…,xn,它们中的每一个数或者为1,或者为-1.如果x1x2+x2x3+…+xn-1xn+xnx1=0,求证:n是4的倍数.

证明:我们先证明n=2k为偶数,再证k也是偶数.
由于x1,x2,xn.的绝对值都是1,所以,x1x2,x2x3,…,xnx1的绝对值也都是1,即它们或者为+1,或者为-1.设其中有k个-1,由于总和为0,故+1也有k个,从而n=2k.
下面我们来考虑(x1x2)•(x2x3)…(xnx1).一方面,有(x1x2)•(x2x3)…(xnx1)=(-1)k
另一方面,有(x1x2)•(x2x3)…(xnx1)=(x1x2xn2=1.
所以(-1)k=1,故k是偶数,从而n是4的倍数.
答案解析:可以先证明n=2k为偶数,再证k也是偶数.即可证明n是4的倍数.
考试点:奇数与偶数.


知识点:本题考查了奇偶性的问题.设其中有k个-1,k个+1是解题的关键.