设f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,且f(xy)=f(x)+f(y),若f(3)=1且f(a)>f(a-1)+2,求实数a的取值范围.

问题描述:

设f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,且f(xy)=f(x)+f(y),若f(3)=1且f(a)>f(a-1)+2,求实数a的取值范围.

∵f(3)=1,∴f(9)=2f(3)=2,∴f(a-1)+2=f(a-1)+f(9)=f(9a-9),
∵f(a)>f(a-1)+2,∴f(a)>f(9a-9).
∵f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,∴a>9a-9>0,解得1<a<

9
8

故实数a的取值范围是(1,
9
8
)