如图,AB、AC分别是⊙O的直径和弦,点D为劣弧AC上一点,弦ED分别交⊙O于点E,交AB于点H,交AC于点F,过点C的切线交ED的延长线于点P.(1)若PC=PF,求证:AB⊥ED;(2)点D在劣弧AC的什么位置时,才能使AD2=DE•DF,为什么?

问题描述:

如图,AB、AC分别是⊙O的直径和弦,点D为劣弧AC上一点,弦ED分别交⊙O于点E,交AB于点H,交AC于点F,过点C的切线交ED的延长线于点P.

(1)若PC=PF,求证:AB⊥ED;
(2)点D在劣弧AC的什么位置时,才能使AD2=DE•DF,为什么?

(1)证明:连接OC,∵PC为⊙O的切线,
∴∠OCP=∠FCP+∠OCF=90°,
∵PC=PF,
∴∠PCF=∠PFC,
∵OA=OC,
∴∠OCA=∠OAC,
∵∠CFP=∠AFH,
∴∠AFH+∠OAC=90°,
∴∠AHF=90°,
即:AB⊥ED.
(2)D在劣弧AC的中点时,才能使AD2=DE•DF.
连接AE.若AD2=DE•DF,
可得:△FAD∽△AED,
∴∠FAD=∠DEA,

AD
=
CD

即D为劣弧AC的中点时,能使AD2=DE•DF.
答案解析:(1)作辅助线,连接OC.根据切线的性质,OC⊥PC.根据PC=PF,OC=OA,可得:∠PCF=∠PFC,∠OCF=∠OAC.
在Rt△FHA中,可得:∠FHA=90°,故AB⊥ED;
(2)根据AD2=DE•DF,可得:△FAD∽△AED,∠FAD=∠DEA.从而可知:
AD
=
CD
,即D在劣弧AC的中点.
考试点:切线的性质;圆周角定理;相似三角形的判定与性质.

知识点:本题主要考查切线的性质和相似三角形性质的运用.