在□ABCD中,AC、BD交于点O,过点O作直线EF、GH,分别交平行四边形的四条边于E、G、F、H四点,连接EG、GF、FH、HE.(1)如图①,试判断四边形EGFH的形状,并说明理由;(2)如图②,当EF⊥GH时,四边形EGFH的形状是______;(3)如图③,在(2)的条件下,若AC=BD,四边形EGFH的形状是______;(4)如图④,在(3)的条件下,若AC⊥BD,试判断四边形EGFH的形状,并说明理由.

问题描述:

在□ABCD中,AC、BD交于点O,过点O作直线EF、GH,分别交平行四边形的四条边于E、G、F、H四点,连接EG、GF、FH、HE.

(1)如图①,试判断四边形EGFH的形状,并说明理由;
(2)如图②,当EF⊥GH时,四边形EGFH的形状是______;
(3)如图③,在(2)的条件下,若AC=BD,四边形EGFH的形状是______;
(4)如图④,在(3)的条件下,若AC⊥BD,试判断四边形EGFH的形状,并说明理由.


答案解析:(1)由于平行四边形对角线的交点是它的对称中心,即可得出OE=OF、OG=OH;根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可判断出EGFH的性质;
(2)当EF⊥GH时,平行四边形EGFH的对角线互相垂直平分,故四边形EGFH是菱形;
(3)当AC=BD时,对四边形EGFH的形状不会产生影响,故结论同(2);
(4)当AC=BD且AC⊥BD时,四边形ABCD是正方形,则对角线相等且互相垂直平分;可通过证△BOG≌△COF,得OG=OF,从而证得菱形的对角线相等,根据对角线相等的菱形是正方形即可判断出EGFH的形状.
考试点:正方形的判定;全等三角形的判定与性质;平行四边形的判定;菱形的判定.


知识点:此题主要考查了平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质;熟练掌握各特殊四边形的联系和区别是解答此类题目的关键.