高中有关圆锥曲线,极坐标方程的题P,Q,m,n四点都在椭圆X^2+Y^2/2=1上,F为椭圆Y轴正半轴上的焦点,向量PF与FQ共线,向量MF与FN共线,且向量PF与向量MF垂直,求四边形PMQN面积的最值?谢谢!
问题描述：
高中有关圆锥曲线,极坐标方程的题
P,Q,m,n四点都在椭圆X^2+Y^2/2=1上,F为椭圆Y轴正半轴上的焦点,向量PF与FQ共线,向量MF与FN共线,且向量PF与向量MF垂直,求四边形PMQN面积的最值?
谢谢!
答
假设PQ直线的斜率为k
(1)当k=0时,四边形PMQN面积为2
(2)当k不为0时,MN直线的斜率为-1/k
PQ直线为y-1=k(x-0) 即y=kx+1 与椭圆方程联立 (k^2+2)x^2+2kx-1=0
假设P(X1,Y1) Q(X2,Y2)则X1+X2=-2k/(k^2+2) X1X2=-1/(k^2+2)
PQ=(1+k^2)^(1/2)((X1+X2)^2-4X1X2)^(1/2)=2^(3/2)(k^2+1)/(k^2+2)
同理,MN=2^(3/2)(1/k^2+1)/(1/k^2+2)
四边形PMQN面积S=1/2PQMN=4(k^4+2k^2+1)/(2k^4+5k^2+2)=2-2k^2/(2k^4+5k^2+2)=2-2/(2k^2+5+2/k^2)
k^2+1/k^2>=2 所以S的取值范围是16/9