已知如图，椭圆方程为x216+y2b2=1（4>b>0）．P为椭圆上的动点， F1、F2为椭圆的两焦点，当点P不在x轴上时，过F1作∠F1PF2的外角平分线的垂线F1M，垂足为M，当点P在x轴上时，定义M与P重合．（1

问题描述：

已知如图，椭圆方程为

=1（4>b>0）．P为椭圆上的动点，
F₁、F₂为椭圆的两焦点，当点P不在x轴上时，过F₁作∠F₁PF₂的外角
平分线的垂线F₁M，垂足为M，当点P在x轴上时，定义M与P重合．

（1）求M点的轨迹T的方程；
（2）已知O（0，0）、E（2，1），试探究是否存在这样的点Q：Q是轨迹T内部的整点（平面内横、纵坐标均为整数的点称为整点），且△OEQ的面积S_△OEQ=2？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由．

答

（1）当点P不在x轴上时，延长F₁M与F₂P的延长线相交于点N，连接OM，
∵∠NPM=∠MPF₁，∠NMP=∠PMF₁
∴△PNM≌△PF₁M
∴M是线段NF₁的中点，|PN|=|PF₁||（2分）
∴|OM|=

|F₂N|=

（|F₂P|+|PN|）=

（|F₂P|+|PF₁|）
∵点P在椭圆上
∴|PF₂|+|PF₁|=8∴|OM|=4，（4分）
当点P在x轴上时，M与P重合
∴M点的轨迹T的方程为：x²+y²=4²．（6分）

（2）连接OE，易知轨迹T上有两个点
A（-4，0），B（4，0）满足S_△OEA=S_△OEB=2，
分别过A、B作直线OE的两条平行线l₁、l₂．
∵同底等高的两个三角形的面积相等
∴符合条件的点均在直线l₁、l₂上．（7分）
∵kOE=

∴直线l₁、l₂的方程分别为：y=

(x+4)、y=

(x-4)（8分）
设点Q（x，y）（x，y∈Z）∵Q在轨迹T内，
∴x²+y²<16（9分）
分别解

x2+y2<16

(x+4)

与

x2+y2<16

(x-4)

得-4<x<2

与-2

<x<4（11分）
∵x，y∈Z
∴x为偶数，在(-4，2

)上x=-2，，0，2对应的y=1，2，3
在(-2

，4)上x=-2，0，2，对应的y=-3，-2，-1（13分）
∴满足条件的点Q存在，共有6个，
它们的坐标分别为：（-2，1），（0，2），（2，3），（-2，-3），（0，-2），（2，-1）．（14分）

已知如图，椭圆方程为x216+y2b2=1（4>b>0）．P为椭圆上的动点， F1、F2为椭圆的两焦点，当点P不在x轴上时，过F1作∠F1PF2的外角 平分线的垂线F1M，垂足为M，当点P在x轴上时，定义M与P重合． （1