已知函数f(x)的定义域是x不等于0的一切实数,对定义域内的任意x1,x2都有f(x1x2)=f(x1)+f(x2),且当x大于1时f(x)大于0,f(2)=1,1:求证f(x)是偶函数2:求证f(x)在零到正无穷上是增函数3:解不等式f(2x^2-1)小于2

问题描述:

已知函数f(x)的定义域是x不等于0的一切实数,对定义域内的任意x1,x2都有f(x1x2)=f(x1)+f(x2),且当x大于1时f(x)大于0,f(2)=1,
1:求证f(x)是偶函数
2:求证f(x)在零到正无穷上是增函数
3:解不等式f(2x^2-1)小于2

(1)由条件
f(x)+f(x)=f(x^2)
f(-x)+f(-x)=f(x^2)
所以是偶函数。
(2)设x2>x1>0.
由条件
f(x2)=f(x1)+f(x2/X1)
x2/x1>1 又x>1时f(x)>0
所以f(x2)=f(x1)加一个正的数.
所以得证单调递增。
(3)f(4)=2f(2)=2
所以就是2x^2-1在-4到4之间,且不为零。
所以就是 负的二分之根号五 到 正的二分之根号五
挖掉两个点: 正负二分之根号二

1.
f(x1x2)=f(x1)+f(x2),令x2=1.于是
f(x1)=f(x1)+f(1),则f(1)=0
f(-1*-1)=2f(-1)=0,所以f(-1)=0
所以f(-x)=f(-1)+f(x)=f(x),所以是偶函数.
2.
任取x1>x2属于(0,无穷大).
f(1)=f(x)+f(1/x),-f(x)=f(1/x)
f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(1/x2)=f(x1/x2)>0.所以是增函数.
3.
f(4)=f(2)+f(2)=2
因为f是偶函数并且在(0,无穷大)递增.
所以f(2x^2-1)