正项数列{an}满足a1=1,a2=2,{根号下an*a(n+1)}是以1/2为公比的等比数列,则使得不等式1/a1+1/a2+.+1/a(2n+1)>2013成立的最小正数n为?
问题描述:
正项数列{an}满足a1=1,a2=2,{根号下an*a(n+1)}是以1/2为公比的等比数列,则使得不等式1/a1+1/a2+.+1/a(2n+1)>2013成立的最小正数n为?
答
题目是不是有问题啊?
a(n+1)=4a(n-1),{an}是以1为首项,二为公比的等比数列,1/a1+1/a2+.....+1/a(2n+1)= (a(2n+1)-1)/a(2n+1)+1
答
a1=1,a2=2,根号下(a1*a2)=根号2,已知公比为1/2,根号下(an*an+1)=根号2*(1/2)^(n-1)
an*an+1=2*(1/4)^(n-1) ①
an+1*an+2=2*(1/4)^n ②
②/①:an+2/an=1/4
可得an每隔一项为等比数列,1/an也每隔一项为等比数列,公比为4,可将1/a1+1/a2+.+1/a(2n+1)拆分为所有奇数项之和与所有偶数项之和[1*(1-4^n)/(1-4)]+[1/2*(1-4^n)/(1-4)]=1/2*(4^n -1)>2013 n≥6