设A是3阶实对称矩阵,秩为2,若A^2=A,则A的特征值为?
问题描述：
设A是3阶实对称矩阵,秩为2,若A^2=A,则A的特征值为?
答
实对称矩阵一定可对角化的。
答
秩为2，也就意味着3阶实对称矩阵A有两个不同的特征值，其中一个是重特征值。
A^2=A A^2-A=0 λ^2-λ=0 λ(λ-1)=0 λ=0或者λ=1
当λ=0为矩阵A的二重特征根时，λ1=λ2=0 ，λ3=1，但此时矩阵A的秩为1，所以不成立。
当λ=1为矩阵A的二重特征根时，λ1=λ2=1，λ3=0，此时矩阵A的秩为2，符合题意。
答
设λ是A的特征值
则 λ^2-λ 是A^2-A 的特征值
而 A^-A=0,零矩阵的特征值只能是0
所以 λ^2-λ=0
所以 λ=0 或 1
即 A 的特征值只能是0,1
又由已知A是实对称矩阵,故A可对角化,对角线元素由0,1组成
再由 r(A)=2,所以 A 的特征值为 1,1,0.