如图，在边长为4的正方形ABCD中，动点P从点B出发沿BC向点C运动，动点Q同时以相同的速度从点C出发沿CD向D点运动．（1）设BP=x，当x为何值时三角形△APQ面积最小，求出最小值；（2）探究：△APQ能否构成直角三角形？若能，请确定点P所有可能的位置；若不能，请说明理由．
问题描述：
如图，在边长为4的正方形ABCD中，动点P从点B出发沿BC向点C运动，动点Q同时以相同的速度从点C出发沿CD向D点运动．
（1）设BP=x，当x为何值时三角形△APQ面积最小，求出最小值；
（2）探究：△APQ能否构成直角三角形？若能，请确定点P所有可能的位置；若不能，请说明理由．
答
知识点：本题考查了四边形的综合题：熟练掌握正方形的性质和二次函数的性质；会运用勾股定理表示线段之间的关系；会运用分类讨论思想的解决数学问题．
（1）∵BP=x（0≤x≤4），∴CQ=x，PC=4-x，DQ=4-x，∵S△APQ=S正方形ABCD-S△ABP-S△PCQ-S△ADQ=4•4-12•4•x-12•x•（4-x）-12•4•（4-x）=12x2-2x+8=12（x-2）2+6，∴当x=2时，S△APQ有最小值，最小值为6；（2...
答案解析：（1）根据正方形的性质表示出PC=4-x，DQ=4-x，再利用三角形面积公式和S△APQ=S正方形ABCD-S△ABP-S△PCQ-S△ADQ进行计算得到S△APQ=
x2-2x+8，然后配方后利用二次函数的性质求解；1 2
（2）根据勾股定理，在Rt△ABP中得到AP2=AB2+BP2=42+x2，在Rt△PCQ中得到PQ2=CQ2+PC2=x2+（4-x）2=2x2-8x+16，在Rt△ADQ中得到AQ2=AD2+DQ2=42+（4-x）2=x2-8x+32，然后分类讨论：当∠APQ=90°时，根据勾股定理得42+x2+2x2-8x+16=x2-8x+32；当∠AQP=90°时，根据勾股定理得到42+x2=2x2-8x+16+x2-8x+32；当∠PAQ=90°时，根据勾股定理得到即42+x2+x2-8x+32=2x2-8x+16，然后分别解方程求出x的值，从而得到P点的位置．
考试点：四边形综合题．
知识点：本题考查了四边形的综合题：熟练掌握正方形的性质和二次函数的性质；会运用勾股定理表示线段之间的关系；会运用分类讨论思想的解决数学问题．