如图,已知△ABC为等边三角形,P为BC上一点,△APQ为等边三角形.(1)求证:AB∥CQ;(2)AQ与CQ能否互相垂直?若能互相垂直,指出点P在BC上的位置,并给予证明;若AQ与CQ不能互相垂直,请说明理由.
问题描述:
如图,已知△ABC为等边三角形,P为BC上一点,△APQ为等边三角形.
(1)求证:AB∥CQ;
(2)AQ与CQ能否互相垂直?若能互相垂直,指出点P在BC上的位置,并给予证明;若AQ与CQ不能互相垂直,请说明理由.
答
(1)证明:∵△ABC和△APQ是等边三角形,∴AB=AC,AP=AQ,∠BAC=∠B=∠PAQ=60°,∴∠BAP=∠CAQ=60°-∠PAC,在△ABP和△ACQ中AB=AC∠BAP=∠CAQAP=AQ∴△ABP≌△ACQ(SAS),∴∠ACQ=∠B=60°=∠BAC,∴AB∥CQ....
答案解析:(1)根据等边三角形性质得出AB=AC,AP=AQ,∠BAC=∠B=∠PAQ=60°,求出∠BAP=∠CAQ,根据SAS证△ABP≌△ACQ,推出∠ACQ=∠B=60°=∠BAC,根据平行线的判定推出即可.
(2)根据等腰三角形性质求出∠BAP=30°,求出∠BAQ=90°,根据平行线性质得出∠AQC=90°,即可得出答案.
考试点:全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质.
知识点:本题考查了等边三角形性质,全等三角形的性质和判定,平行线性质和判定,等腰三角形性质的应用,主要考查学生的推理能力.