5的2007次方除以11的余数是?
问题描述：
5的2007次方除以11的余数是?
答
答案是：3
5^2007=25×5^2005
=25×(5^5)^401
=25×(3125)^401
=25×(3124+1)^401
3124÷11=284可以整除
利用二项式定理展开25×(3124+1)^401得到
25×(3124+1)^401
=25×3124^401+25×C(1，401)×3124^400+25×C(2，401)×3124^399+……+25×C(400，401)×3124+25×1
前边的401项都能被11整除，只有25×1不能
所以5^2007除以11的余数与25除以11的余数相同，都是3
答
5^2007 mod 11=3
答
5^1/11=0余5
5^2/11=2余3
5^3/11=11余4
5^4/11=56余9
5^5/11=284余1
5^6/11=1420余5
5^7/11=7102余3
可见余数(5,3,4,9,1)构成一个循环
2007/5=2005/5 余 2
循环的第二个数是3
5的2007次方除以11的余数是3