求方程(1/x)+(1/y)-(1/xy^2)=3/4的非零整数解.

(1/x)+(1/y)-(1/xy^2)=3/4
可得xy[4(x+y)-3xy]=4
4=1*4=2*2=-1*(-4)=-2*(-2)
若xy=4(x+y)-3xy
则xy=x+y
则x=y/(y-1)
则xy=y^2/(y-1)=2or-2
1)xy=2 则y^2-2y+2=0 显然无整数解
2)xy=-2 则y^2+2y-2=0 显然无整数解
3)xy=1 则x=y=1or-1 代入原式,显然均不成立
4)xy=-1 则x+y=0 代入原式,显然不成立
5)xy=4 则4(x+y)-3xy=1
x+y=13/4 显然无整数解
同理x+y=-4时,无整数解
综上所述,无整数解

(1/3)+(1/2)-(1/12)=3/4
x=3.y=2

如果你的题是
(1/x)+(1/y)-(1/(xy)^2)=3/4
那么
同时乘以4xxyy
3xxyy ＝4〔xy (x+y)-1〕
右边可以被4整除
x,y有一个是偶数
不妨x是偶数
xy(x+y)是偶数
xy(x+y)-1是奇数
所以右边分解质因数只有2个2
所以y是奇数
设x=2k
k是奇数
3kkyy－2ky(2k+y)＝1
ky〔－3ky＋2(2k+y)〕=1
三个整数的乘积＝1
k＝y=1,－3ky＋2(2k+y)＝3（舍）
或
k＝1,y=-1 －3ky＋2(2k+y)＝5（舍）
或
k=-1,y=1 －3ky＋2(2k+y)＝1（舍）
或
k=y=-1 3ky－2(2k+y)＝－3 （舍）
无整数解!
如果你的题是
(1/x)+(1/y)-(1/xy^2)=3/4
同时乘以4xyy
4yy－xy（3y－4）＝4
y〔4y－3xy＋4x〕＝4
所以
y｜4
y＝－4,－2,－1,1,2,4
分别讨论
y＝－4
4y－3xy＋4x＝－1（舍）
y＝－2
4y－3xy＋4x＝－2（舍）
y=－1
4y－3xy＋4x＝－4（舍）
y＝4
4y－3xy＋4x＝1（舍）
y＝2
4y－3xy＋4x＝2
x=3
y=1
4y－3xy＋4x＝4（舍）
x=3,y=2