如图,将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°,得到△DBE,连接AD,DC,已知∠DCB=30°.求证:DC2+BC2=AC2,即四边形ABCD是勾股四边形.

问题描述:

如图,将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°,得到△DBE,连接AD,DC,已知∠DCB=30°.求证:DC2+BC2=AC2,即四边形ABCD是勾股四边形.

证明:连接EC,
∵将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°,得到△DBE,
∵△ABC≌△DBE,
∴AC=DE,BC=BE,
∵∠CBE=60°,
∴EC=BC,∠BCE=60°,
∵∠DCB=30°,
∴∠DCE=90°,
∴DC2+EC2=DE2
∴DC2+BC2=AC2
即四边形ABCD是勾股四边形.
答案解析:首先连接EC,由将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°,得到△DBE,易得AC=DE,BC=BE,又由∠DCB=30°,继而可得∠DCE=90°,则可证得DC2+BC2=AC2,即四边形ABCD是勾股四边形.
考试点:旋转的性质;全等三角形的性质;勾股定理.
知识点:此题考查了旋转的性质以及勾股定理.此题难度适中,注意掌握旋转前后图形的对应关系,注意辅助线的作法,注意数形结合思想的应用.