RT△ABC中,∠ACB=90,CD⊥AB于D,E为AC的中点,ED的延长线交CB延长线于P求证：PD的平方=PBxPC
问题描述：
RT△ABC中,∠ACB=90,CD⊥AB于D,E为AC的中点,ED的延长线交CB延长线于P
求证：PD的平方=PBxPC
答
∵E为AC中点,CD⊥AB
∴AE＝CE＝ED
∴∠A＝∠ADE
∵∠ADE＝∠BDP
∴∠A＝∠BDP
∵∠ABC＝90°
∴∠ACD＋∠DCB＝90°
∵CD⊥AB
∴∠ACD＋∠A＝90°
∴∠DCB＝∠A
∴∠DCB＝∠BDP
∵∠P＝∠P
∴△CDP∽△DBP
∴PD／PC＝PB／PD
∴PD²＝PC·PB
答
证明:在Rt△ADC中, DE为斜边中线，∴DE=AE,∴∠DAE=∠ADE。又∠ADE与∠BDP是对顶角，∴∠ADE=∠BDP，∴∠DAE=∠BDP,且∠CAD=90°-∠CBD=∠BCD，∴∠。又在△PDB和△PCD中，角P公用，∠PDB=∠ADE=∠CAD=∠BCD,∴△PDB∽△PCD，∴PB:PD=PD:PC,即PD²=PB×PC。
答
分析：只要能证出三角形PCD和三角形PDB相似就可以了
因为∠CPD=∠DPB （1）
又因为CD⊥AB于D,E为AC的中点,根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半,可以得出EC=ED,则∠ECD=∠EDC
又因为∠ACP=∠CDB=90°,所以∠ECD+∠ACP=∠EDC+∠CDB即∠PCD=∠PDB（2）
由（1）（2）可以得出三角形PCD和三角形PDB相似
所以PC/PD=PD/PB
答
在直角三角形ACD中，因为E为斜边AC的中点，所以EA=ED,∠PDB=∠ADE=∠CAD=∠PCD.
从而ΔPDB∽ΔPCB
所以PD/PB=PC/PD,即PD的平方=PBxPC