如图,已知△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,直角∠EPF的顶点P是BC中点,两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F,给出以下四个结论:①△PFA≌△PEB;②∠PFE=45°;③EF=AP;④图中阴影部分的面积是△ABC的面积的一半;当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时(点E不与A,B重合),上述结论中始终正确的有(  )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个

问题描述:

如图,已知△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,直角∠EPF的顶点P是BC中点,两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F,给出以下四个结论:
①△PFA≌△PEB;
②∠PFE=45°;
③EF=AP;
④图中阴影部分的面积是△ABC的面积的一半;
当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时(点E不与A,B重合),上述结论中始终正确的有(  )
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个

∵AB=AC,∠BAC=90°,P是BC中点;
∴∠APB=90°,AP=CP=BP,∠B=∠C=∠CAP=45°;
∵∠FPE=90°;
∴∠FPA=∠BPE;
∴△PFA≌△PEB;
∴PE=PF;
∴∠PFE=45°.
阴影部分的面积=△APC的面积=△ABC的面积的一半.
故选C.
答案解析:由等腰直角三角形的性质,及角相互间的和差关系易得△PFA≌△PEB,依此得出∠PFE=45°,阴影部分的面积是△ABC的面积的一半.
考试点:旋转的性质;全等三角形的性质;全等三角形的判定.


知识点:本题主要考查了等腰直角三角形的性质,同时考查了全等三角形的判断和性质.