在三角形ABC中,点M是BC的中点,点N是边AC上,且AN＝2NC,AM与BN相交与点P,求AP:PM的值用向量证
问题描述：
在三角形ABC中,点M是BC的中点,点N是边AC上,且AN＝2NC,AM与BN相交与点P,求AP:PM的值
用向量证
答
设BM=e1，CN=e2，
则AM=AC+CM=－3e2－e1，BN=2e1＋e2.
∵A、P、M和B、P、N分别共线， ∴存在λ、μ∈R，使得:
AP=λAM=－λe1－3λe2，BP=μBN=2μe1＋μe2.
故BA=BP-AP=(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2. 而BA=BC+CA=2e1＋3e2，
由基本定理得:λ＋2μ=2, 3λ＋μ=3 解得:λ=4/5, μ=3/5
∴AP=4AM/5===>AP:AM=4:5
∴AP∶PM=4∶1.
答
过N点作NQ平行于BC交AM于Q点
∵NQ//CM,且AN=2NC
∴AQ=2QM,NQ=2/3MC
∵NQ//BM,且∠QPN=∠MPB
∴△PQN∽△PMB
∵BM=MC,QN=2/3MC
∴PQ=2/3MP
AP=AQ+PQ=6PQ
∴AP:PM=4:1