求2x(x^2+1)arctanx的不定积分

2x(x^2+1)arctanx=(2x^3)arctanx+2xarctanx
故要求2x(x^2+1)arctanx的不定积分必须先求(x^3)arctanx与xarctanx的不定积分，其积分分别记为M、N，下面用分部积分法分别求之。
为求出M，令u=arctanx，v'=x^3，则u'=1/(1+x^2)，v=x^4 /4，于是
M=(x^4 /4)arctanx-{x^4 /[4(1+x^2)]的不定积分}
=(x^4 /4)arctanx-(1/4)*{[x^2-1+1/(x^2+1)]的不定积分}
=(x^4 /4)arctanx-(1/4)(x^3 /3-x+arctanx)+C1
为求出N，令u=arctanx，v'=x，则u'=1/(1+x^2)，v=x^2 /2，于是
N=(x^2 /2)arctanx-{x^2 /[2(1+x^2)]的不定积分}
=(x^2 /2)arctanx-(1/2)*{[1-1/(x^2+1)]的不定积分}
=(x^2 /2)arctanx-(1/2)(x-arctanx)+C2
所以所求积分为2(M+N)=(x^4 /2)arctanx-(1/2)(x^3 /3-x+arctanx)+(x^2)arctanx-(x-arctanx)+C
=(x^4 /2+x^2+1/2)arctanx-(x^3 /6+x/2)+C

原式=∫(x²+1)arctanxd(x²+1)
=1/2∫arctanxd(x²+1)²
=1/2*(x²+1)²arctanx-1/2∫(x²+1)²darctanx
=1/2*(x²+1)²arctanx-1/2∫(x²+1)²*1/(x²+1) dx
=1/2*(x²+1)²arctanx-1/2∫(x²+1)dx
=1/2*(x²+1)²arctanx-1/2*(x³/3+x)+C