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已知函数f（x）=x3+ax2+x+2（a＞0）的极大值点和极小值点都在区间（-1，1）内，则实数a的取值范围是（　　）A. （0，2]B. （0，2）C. [3，2）D. (3 ， 2)

分类: 作业答案 • 2021-12-20 05:59:05
问题描述：

已知函数f（x）=x3+ax2+x+2（a＞0）的极大值点和极小值点都在区间（-1，1）内，则实数a的取值范围是（　　）
A. （0，2]
B. （0，2）
C. [

 3
，2）
D. (
 3
 ， 2)

答

求导函数，可得f′（x）=3x2+2ax+1
则由题意，方程3x2+2ax+1=0的两个不等根都在区间（-1，1）内，
构造函数g（x）=3x2+2ax+1，则
△=4a2-12＞0
-1＜-
a
3
＜1
g(-1)＞0
g(1)＞0

∴
 3
＜a＜2
∴实数a的取值范围是(
 3
， 2)
故选D．
答案解析：求导函数，则问题转化为方程3x2+2ax+1=0的根都在区间（-1，1）内，构造函数g（x）=3x2+2ax+1，即可求得实数a的取值范围．
考试点：函数在某点取得极值的条件．
知识点：本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查方程根的研究，解题的关键是问题转化为方程3x2+2ax+1=0的根都在区间（-1，1）内．

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