定义在[-1，1]上的函数f（x）满足f（1）=1，且当a，b∈[-1，1]时，都有af（a）+bf（b）>af（b）+bf（a）；（1）判断f（x）在[-1，1]上的单调性，并证明你的结论．（2）若f（x）是奇函数，不等式mf（x）≤m2+m-3对所有的x∈[-1，1]恒成立，求m的取值范围．
问题描述：
定义在[-1，1]上的函数f（x）满足f（1）=1，且当a，b∈[-1，1]时，都有af（a）+bf（b）>af（b）+bf（a）；
（1）判断f（x）在[-1，1]上的单调性，并证明你的结论．
（2）若f（x）是奇函数，不等式mf（x）≤m2+m-3对所有的x∈[-1，1]恒成立，求m的取值范围．
答
知识点：本题考查函数的恒成立问题，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．
（1）证明：设-1≤x1<x2≤1，令a=x2，b=x1，则x2f（x2）+x1f（x1）>x2f（x1）+x1f（x2）∴（x2-x1）f（x2）+（x1-x2）f（x1）>0，∴（x2-x1）[f（x2）-f（x1）]>0∵x2-x1>0，∴f（x2）>f（x...
答案解析：（1）设-1≤x1＜x2≤1，令a=x2，b=x1，则x2f（x2）+x1f（x1）＞x2f（x1）+x1f（x2），所以（x2-x1）f（x2）+（x1-x2）f（x1）＞0，由此能够证明f（x）在[-1，1]上是增函数．
（2）当m=0时，0≤-3不成立；当m＞0时，f（x）≤f（1）=1，mf（x）≤m，所以m≥
；当m＜0时，mf（x）≤-m，m≤-3．
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考试点：函数恒成立问题；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的性质．
知识点：本题考查函数的恒成立问题，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．