设f(x)在【0,1】上连续,在(0,1)可导,且f(1)=0,证明至少存在一点a,a属于(0,1),使得f ' (x)=-2f(a)/a

问题描述:

设f(x)在【0,1】上连续,在(0,1)可导,且f(1)=0,证明至少存在一点a,a属于(0,1),使得f ' (x)=-2f(a)/a

令F(x)=f(x)·x^2
F(0)=0
F(1)=0
F(x)在[0,1]上满足罗尔定理的所有条件
所以,存在a∈(0,1)
F'(a)=0
即f'(a)·a^2+f(a)·2a=0
所以,f'(a)=-2f(a)/a