观察以下各等式:sin230°+cos260°+sin30°cos60°=34sin220°+cos250°+sin20°cos50°=34sin215°+cos245°+sin15°cos45°=34分析上述各式的共同特点,猜想出反映一般规律的等式,并对等式的正确性作出证明.

问题描述:

观察以下各等式:
sin230°+cos260°+sin30°cos60°=

3
4

sin220°+cos250°+sin20°cos50°=
3
4

sin215°+cos245°+sin15°cos45°=
3
4

分析上述各式的共同特点,猜想出反映一般规律的等式,并对等式的正确性作出证明.

观察以下各式:
∵sin230°+cos260°+sin30°cos60°=

3
4
,sin220°+cos250°+sin20°cos50°=
3
4

∴sin230°+cos2(30°+30°)+sin30°cos(30°+30°)=
3
4
,sin220°+cos2(20°+30°)+sin20°cos(20°+30°)=
3
4

 于是根据各式的共同特点,则具有一般规律的等式可得出sin2α+cos2(α+30°)+sinαcos(α+30°)=
3
4

证明:左边=sin2α+cos2(α+300)+sinαcos(α+300)=
1-cos2α
2
+
1+cos(600+2α)
2
+
sin(300+2α)-sin300
2

=1+
cos(600+2α)-cos2α
2
+
1
2
[sin(300+2α)-
1
2
]

=1+
-2sin(300+2α)sin300
2
+
1
2
[sin(300+2α)-
1
2
]

=
3
4
-
1
2
sin(300+2α)+
1
2
sin(300+2α)=
3
4
=右边.
答案解析:我们可以发现等式左边余弦均为正弦度数加30°,右边是常数,由此不难得到结论
考试点:归纳推理.
知识点:本题主要考查了归纳推理,通过观察个别情况发现某些相同性质,从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想),属基础题.