观察以下各等式： sin230°+cos260°+sin30°cos60°=3/4 sin220°+cos250°+sin20°cos50°=3/4 sin215°+cos245°+sin15°cos45°=3/4 分析上述各式的共同特点，
问题描述：
观察以下各等式：
sin230°+cos260°+sin30°cos60°=
3 4
sin220°+cos250°+sin20°cos50°=
3 4
sin215°+cos245°+sin15°cos45°=
3 4
分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明．
答
观察以下各式：
∵sin230°+cos260°+sin30°cos60°=
，sin220°+cos250°+sin20°cos50°=3 4
，3 4
∴sin230°+cos2（30°+30°）+sin30°cos（30°+30°）=
，sin220°+cos2（20°+30°）+sin20°cos（20°+30°）=3 4
，3 4
于是根据各式的共同特点，则具有一般规律的等式可得出sin2α+cos2(α+30°)+sinαcos(α+30°)=
．3 4
证明：左边=sin2α+cos2(α+300)+sinαcos(α+300)=
+1-cos2α 2
+1+cos(600+2α) 2
sin(300+2α)-sin300
2
=1+
+cos(600+2α)-cos2α 2
[sin(300+2α)-1 2
]1 2
=1+
+-2sin(300+2α)sin300
2
[sin(300+2α)-1 2
]1 2
=
-3 4
sin(300+2α)+1 2
sin(300+2α)=1 2
=右边．3 4