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（2010•西安八校联考）已知正整数a、b满足4a+b=30，则使得1a+1b取得最小值的有序数对（a，b）是（　　）A. （5，10）B. （6，6）C. （7，2）D. （10，5）

分类: 作业答案 • 2021-12-20 05:20:50
问题描述：

（2010•西安八校联考）已知正整数a、b满足4a+b=30，则使得

1
a
+
1
b
取得最小值的有序数对（a，b）是（　　）
A. （5，10）
B. （6，6）
C. （7，2）
D. （10，5）

答

依题意得

1
a
+
1
b
=
1
30
（
1
a
+
1
b
）（4a+b）
=
1
30
（4+
b
a
+
4a
b
+1）≥
1
30
（5+2
b
a
×
4a
b
）=
3
10
，
当且仅当
b
a
=
4a
b
时取最小值，即b=2a且4a+b=30，即a=5，b=10时取等号．
∴使得
1
a
+
1
b
取得最小值的有序数对（a，b）是（5，10）
故选A
答案解析：已知4a+b=30，即
1
30
（4a+b）=1，将所求代数式乘以1，即乘以
1
30
（4a+b），展开后利用均值定理即可得其最小值，由均值定理等号成立的条件即可得a、b的值
考试点：基本不等式在最值问题中的应用．
知识点：本题考查了均值定理求函数最值的方法，条件不等式求最值时整体代换的方法和技巧，准确的运用条件并熟记均值定理成立的条件是解决本题的关键

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