椭圆x^2/16+y^2/4=1的左右焦点分别为F1F2点P在直线:x-根号3y+8+2根号3=0上.当角F1PF2取最大值时求PF1/PF2答案好像是根号3-1

同问
椭圆x^2/16+y^2/4=1的左右焦点分别为F1F2点P在直线:x-根号3y+8+2根号3=0上。当角F1PF2取最大值时求PF1/PF2 检举|2012-02-06 16:22 提问者： 乞乞科夫 |浏览次数：607次求过程，答案好像是根号3-1我来帮他解答
满意回答检举|2012-02-08 10:45由已知：a²=16 , b²=4 , ∴c²=12 , 即c=2√3
∴ F1(－2√3 , 0) , F2(2√3 , 0)
点P（√3·y－8－2√3 , y) , |F1F2|=2c=4√3
设∠F1PF2=α ， 不妨设y>0
∴|PF1|²=(x+2√3)²+y²=(√3·y－8)²+y²
|PF2|²=(x－2√3)²+y²=(√3y－8－4√3)²+y²
∴|PF1|²+|PF2|²=8y²－(32√3+24)y+176+64√3
∴PF1|²+|PF2|²－(2c)²=8y²－(32√3+24)y+128+64√3
又由△F1PF2的面积可得：|PF1|·|PF2|·sinα=2c·y , 即：|PF1|·|PF2|=(4√3y)/sinα
∴cosα=(PF1|²+|PF2|²－(2c)²)/(2PF1|·|PF2|)
=[8y²－(32√3+24)y+128+64√3]/[(8√3y)/sinα]
∴(cosα)/(sinα)==[8y²－(32√3+24)y+128+64√3]/(8√3y)
即cotα=(1/√3)· [y－(4√3+3)+(16+8√3)/y]
≥ (1/√3)·{2√[y·(16+8√3)/y] －(4√3+3)}
= (1/√3)·{4√(4+2√3)－(4√3+3)}
=(1/√3)·{4(1+√3)－(4√3+3)}=1/√3
当且仅当y=16+8√3)/y时取等号
这时，y²=16+8√3
即y²=4(4+2√3) ,即y=2(1+√3)
这时，cotα最小，即角α最大
|PF1|²/|PF2|²=[(√3·y－8)²+y²]/(√3y－8－4√3)²+y²
=（y²－4√3y+16)/[y²－(4√3+6)y+28+164√3]
=4－2√3
∴|PF1|/|PF2|=√3－1

F1（-2根3，0）,F2（2根3，0),设P（根号3y-8-2根号3，y)，则PF1方=（根号3y-8）^2+y^2,
PF2方=（根号3y-8-4根号3）^2+y^2，
cosF1PF2=PF1方+PF2方-F1F2方除以2*PF1*PF2=4(y^2-(4根3+3)y+16+8根3除以PF1*PF2所以当y=(4根3+3)/2时cosF1PF2最小，角F1PF2取得最大值，此时PF1方=（根号3y-8）^2+y^2=25，
PF2方=（根号3y-8-4根号3）^2+y^2=16根3+37，所以PF1/PF2=根（25/16根3+37）
不是你的答案，你参考一下，没什么问题，两中情况：一、你的题打错了；二、你的答案打错了

由已知：a²=16 ,b²=4 ,∴c²=12 ,即c=2√3
∴ F1(－2√3 ,0) ,F2(2√3 ,0)
点P（√3·y－8－2√3 ,y) ,|F1F2|=2c=4√3
设∠F1PF2=α ,不妨设y>0
∴|PF1|²=(x+2√3)²+y²=(√3·y－8)²+y²
|PF2|²=(x－2√3)²+y²=(√3y－8－4√3)²+y²
∴|PF1|²+|PF2|²=8y²－(32√3+24)y+176+64√3
∴PF1|²+|PF2|²－(2c)²=8y²－(32√3+24)y+128+64√3
又由△F1PF2的面积可得：|PF1|·|PF2|·sinα=2c·y ,即：|PF1|·|PF2|=(4√3y)/sinα
∴cosα=(PF1|²+|PF2|²－(2c)²)/(2PF1|·|PF2|)
=[8y²－(32√3+24)y+128+64√3]/[(8√3y)/sinα]
∴(cosα)/(sinα)==[8y²－(32√3+24)y+128+64√3]/(8√3y)
即cotα=(1/√3)· [y－(4√3+3)+(16+8√3)/y]
≥ (1/√3)·{2√[y·(16+8√3)/y] －(4√3+3)}
= (1/√3)·{4√(4+2√3)－(4√3+3)}
=(1/√3)·{4(1+√3)－(4√3+3)}=1/√3
当且仅当y=16+8√3)/y时取等号
这时,y²=16+8√3
即y²=4(4+2√3) ,即y=2(1+√3)
这时,cotα最小,即角α最大
|PF1|²/|PF2|²=[(√3·y－8)²+y²]/(√3y－8－4√3)²+y²
=（y²－4√3y+16)/[y²－(4√3+6)y+28+164√3]
=4－2√3
∴|PF1|/|PF2|=√3－1