圆的面积公式与长方形的面积公式有什么关系

怎样求圆面积?这已是一个非常简单的问题,用公式一算,结论就出来了.可是你可知道这个公式是怎样得来的吗?在过去漫长的年代里,人们为了研究和解决这个问题,不知遇到了多少困苦,花费了多少精力和时间.
在平面图形中,以长方形的面积最容易计算了.用大小一样的正方形砖铺垫长方形地面,如果横向用八块,纵向用六块,那一共就用了8×6=48块砖.所以求长方形面积的公式是：长×宽.
求平行四边形的面积,可以用割补的方法,把它变成一个与它面积相等的长方形.长方形的长和宽,就是平行四边形的底和高.所以求平行四边形面积的公式是：底×高.
求三角形的面积,可以对接上一个和它全等的三角形,成为一个平行四边形.这样,三角形的面积,就等于和它同底同高的平行四边形面积的一半.因此,求三角形面积的公式是：底×高÷2
任何一个多边形,因为可以分割成若干个三角形,所以它的面积,就等于这些三角形面积的和.
4000多年前修建的埃及胡夫金字塔,底座是一个正方形,占地52900m2.它的底座边长和角度计算十分准确,误差很小,可见当时测算大面积的技术水平已经很高.
圆是最重要的曲边形.古埃及人把它看成是神赐予人的神圣图形.怎样求圆的面积,是数学对人类智慧的一次考验.
也许你会想,既然正方形的面积那么容易求,我们只要想办法做出一个正方形,使它的面积恰好等于圆面积就行了.是啊,这样的确很好,但是怎样才能做出这样的正方形呢?
你知道古代三大几何难题吗?其中的一个,就是刚才讲到的化圆为方.这个起源于古希腊的几何作图题,在2000多年里,不知难倒了多少能人,直到19世纪,人们才证明了这个几何题,是根本不可能用古代人的尺规作图法作出来的.
化圆为方这条路行不通,人们不得不开动脑筋,另找出路.
我国古代的数学家祖冲之,从圆内接正六边形入手,让边数成倍增加,用圆内接正多边形的面积去逼近圆面积.
古希腊的数学家,从圆内接正多边形和外切正多边形同时入手,不断增加它们的边数,从里外两个方面去逼近圆面积.
古印度的数学家,采用类似切西瓜的办法,把圆切成许多小瓣,再把这些小瓣对接成一个长方形,用长方形的面积去代替圆面积.
众多的古代数学家煞费苦心,巧妙构思,为求圆面积作出了十分宝贵的贡献.为后人解决这个问题开辟了道路.
16世纪的德国天文学家开普勒,是一个爱观察、肯动脑筋的人.他把丹麦天文学家第谷遗留下来的大量天文观测资料,认真地进行整理分析,提出了著名的“开普勒三定律”.开普勒第一次告诉人们,地球围绕太阳运行的轨道是一个椭圆,太阳位于其中的一个焦点上.
开普勒当过数学老师,他对求面积的问题非常感兴趣,曾进行过深入的研究.他想,古代数学家用分割的方法去求圆面积,所得到的结果都是近似值.为了提高近似程度,他们不断地增加分割的次数.但是,不管分割多少次,几千几万次,只要是有限次,所求出来的总是圆面积的近似值.要想求出圆面积的精确值,必须分割无穷多次,把圆分成无穷多等分才行.
开普勒也仿照切西瓜的方法,把圆分割成许多小扇形；不同的是,他一开始就把圆分成无穷多个小扇形.
圆面积等于无穷多个小扇形面积的和,所以
在最后一个式子中,各段小弧相加就是圆的周长2πR,所以有
这就是我们所熟悉的圆面积公式.
开普勒运用无穷分割法,求出了许多图形的面积.1615年,他将自己创造的这种求圆面积的新方法,发表在《葡萄酒桶的立体几何》一书中.
开普勒大胆地把圆分割成无穷多个小扇形,并果敢地断言：无穷小的扇形面积,和它对应的无穷小的三角形面积相等.他在前人求圆面积的基础上,向前迈出了重要的一步.
《葡萄酒桶的立体几何》一书,很快在欧洲流传开了.数学家们高度评价开普勒的工作,称赞这本书是人们创造求圆面积和体积新方法的灵感源泉.
一种新的理论,在开始的时候很难十全十美.开普勒创造的求圆面积的新方法,引起了一些人的怀疑.他们问道：开普勒分割出来的无穷多个小扇形,它的面积究竟等于不等于零?如果等于零,半径OA和半径OB就必然重合,小扇形OAB就不存在了；如果客观存在的面积不等于零,小扇形OAB与小三角形OAB的面积就不会相等.开普勒把两者看作相等就不对了.
面对别人提出的问题,开普勒自己也解释不清.
卡瓦利里是意大利物理学家伽利略的学生,他研究了开普勒求圆面积方法存在的问题.
卡瓦利里想,开普勒把圆分成无穷多个小扇形,这每个小扇形的面积到底等不等于圆面积,就不好确定了.但是,只要小扇形还是图形,它是可以再分的呀.开普勒为什么不再继续分下去了呢?要是真的再细分下去,那分到什么程度为止呢?这些问题,使卡瓦利里陷入了沉思之中.
有一天,当卡瓦利里的目光落在自己的衣服上时,他忽然灵机一动：唉,布不是可以看成为面积嘛!布是由棉线织成的,要是把布拆开的话,拆到棉线就为止了.我们要是把面积像布一样拆开,拆到哪儿为止呢?应该拆到直线为止.几何学规定直线没有宽度,把面积分到直线就应该不能再分了.于是,他把不能再细分的东西叫做“不可分量”.棉线是布的不可分量,直线是平面面积的不可分量.
卡瓦利里还进一步研究了体积的分割问题.他想,可以把长方体看成为一本书,组成书的每一页纸,应该是书的不可分量.这样,平面就应该是长方体体积的不可分量.几何学规定平面是没有薄厚的,这样也是有道理的.
卡瓦利里紧紧抓住自己的想法,反复琢磨,提出了求圆面积和体积的新方法.
1635年,当《葡萄酒桶的立体几何》一书问世20周年的时候,意大利出版了卡瓦利里的《不可分量几何学》.在这本书中,卡瓦利里把点、线、面,分别看成是直线、平面、立体的不可分量；把直线看成是点的总和,把平面看成是直线的总和,把立体看成是平面的总和.
卡瓦利里还根据不可分量的方法指出,两本书的外形虽然不一样,但是,只要页数相同,薄厚相同,而且每一页的面积也相等,那么,这两本书的体积就应该相等.他认为这个道理,适用于所有的立体,并且用这个道理求出了很多立体的体积.这就是有名的“卡瓦利里原理.”
事实上,最先提出这个原理的,是我国数学家祖 .比卡瓦利里早1000多年,所以我们叫它“祖 原理”或者“祖 定理”.
在一个正方形里,圆占正方形面积的78.5% 在一个圆里画一个最大的正方形,正方形面积占圆形面积的157%.