已知a＞0，b＞0，且a+b=1，求证：（a+1a）（b+1b）≥254．
问题描述：
已知a＞0，b＞0，且a+b=1，求证：（a+
）（b+1 a
）≥1 b
． 25 4
答
因为已知a+b=1，a＞0，b＞0，
∴根据基本不等式a+b≥2
，
ab
∴0＜ab≤
，1 4
又(a+
)(b+1 a
)＝1 b
⋅
a2+1 a
＝
b2+1 b
＝
a2b2−2ab+2 ab
≥
(1−ab)2+1 ab
（取等号时a=b=25 4
）1 2
∴(a+
)(b+1 a
)≥1 b
25 4
即得(a+
)(b+1 a
)≥1 b
．25 4
答案解析：首先分析题目已知a＞0，b＞0，且a+b=1，求证：（a+
）（b+1 a
）≥1 b
．可以考虑用基本不等式求得ab≤25 4
，直接展开左侧，利用基本上的性质，求证(a+1 4
)(b+1 a
)−1 b
≥0即可．25 4
考试点：不等式的证明．
知识点：此题主要考查不等式的证明问题，其中涉及到基本不等式的应用和比较法证明不等式的思想，涵盖知识点少，有一定的计算量属于中档题目．