初中勾股定理CD是△ABC的高,且有CD²=AD·DB.求证;△ABC为直角三角形

问题描述:

初中勾股定理
CD是△ABC的高,且有CD²=AD·DB.求证;△ABC为直角三角形

因为CD是△ABC的高
所以AC²=CD²+AD²
CB²=CD²+BD²
又CD²=AD·DB
所以AC²+CB²=2CD²+AD²+BD²=(AD+BD)²
AC²+CB²=AB²

因为CD是△ABC的高
所以AC²=CD²+AD²
CB²=CD²+BD²
又CD²=AD·DB
所以AC²+CB²=2CD²+AD²+BD²=(AD+BD)²
由勾股定理可得△ABC为直角三角形,其中角C为直角

因为:CD是△ABC的高
所以:CB²=CD²+DB²,AC²=AD²+CD²;
因为:AB²=(AD+DB)²=AD²+2AD·DB+DB²
因为:CD²=AD·DB
所以:AB²=(AD+DB)²=AD²+2AD·DB+DB²=AD²+2CD²+DB²=(AD²+CD²)+(CD²+DB²)=CB²+AC²
所以:AB²=CB²+AC²
根据勾股定理得证:△ABC为直角三角形