有关向量的数学题啊 在△ABC中,满足:AB⊥AC,M是BC的中点.(I)若|AB|=|AC|,求向量AB+2AC与向量2AB+AC的夹角的余弦值;(II)若O是线段AM上任意一点,且|AB|=|AC|,=根号2,求OA*OB+OC*OA的最小值(III)若点P是BC上一点,且AP=2,AP*AC=2AP*AB=2,求|AB+AC+AP|的最小值

问题描述:

有关向量的数学题啊
在△ABC中,满足:AB⊥AC,M是BC的中点.
(I)若|AB|=|AC|,求向量AB+2AC与向量2AB+AC的夹角的余弦值;
(II)若O是线段AM上任意一点,且|AB|=|AC|,=根号2,求OA*OB+OC*OA的最小值
(III)若点P是BC上一点,且AP=2,AP*AC=2AP*AB=2,求|AB+AC+AP|的最小值

以A为原点,以AB、AC所在直线为X轴,Y轴建立直角坐标系,
设B(b,0),C(0,c)
(1) 若|AB|=|AC|,则b=c.所以向量AB+2AC=(b,0)+2(0,c)=(b,2b)
向量2AB+AC=2(b,0)+(0,c)=(2b,b)
记a为向量AB+2AC与向量2AB+AC的夹角,则
Cosa=[(b,2b) (2b,b)]/5b²=4/5
(2)由题意,B(√2,0)C(0,√2),M(√2/2, √2/2),设O(x,x)
OA*OB+OC*OA=(x,x)(√2-2x,√2-2x)=2√2x-4x²=-4(x-√2/4)²+1/2
当X=0或√2/2时,OA*OB+OC*OA有最小值0
(3)方法是化为坐标关系求解 略

题在哪里 (I)(向量AB+2AC)*(向量2AB+AC)=4|AB|平方 |向量AB+2AC|=根号5|AB| =|向量2AB+AC| cos夹角=0.8
(II)OA*OB+OC*OA=向量2OA*OM=-2OA*OB|设|OA|=x 由AB=|AC|,=根号2得BC=2=2OM 所以OM=1-x OA*OB+OC*OA=-2x(1-x) x=1/2时由最小值 OA*OB+OC*OA=-1/2
(III)设AB=x AC=y |AB+AC+AP|=根号向量AB+AC+AP的平方=根号(x*2 + y*2+10)=根号(45/4+tana平方 +1/4tana平方)>=根号49/4
即|AB+AC+AP|的最小值=7/2