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在空间四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，若AC=BD=a，EF=22a，∠BDC=90°．求证：BD⊥平面ACD．

分类: 作业答案 • 2021-12-20 04:59:12
问题描述：

在空间四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，若AC=BD=a，EF=

 2
2
a，∠BDC=90°．求证：BD⊥平面ACD．

答


证明：作DC的中点G，连接EG，FG，
则EG=

1
2
AC=
a
2
，GF=
1
2
BD=
a
2
，
∴EG2+GF2=EF2，
∴EF⊥FG，
∵EG∥AC，FG∥BD，
∴BD⊥AC，
∵BD⊥DC，DC⊂平面ACD，AC⊂平面ACD，AC∪CD=C，
∴BD⊥平面ACD．
答案解析：作BC的中点G，连接EG，FG，先证明出EG⊥GF，进而证明出BD⊥AC，最后根据线面垂直的判定定理证明出BD⊥平面ACD．
考试点：直线与平面垂直的判定．
知识点：本题主要考查了线面垂直的判定定理的应用．证明的关键是找到两条相交的与之垂直的直线．

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