证明:当x>1时.不等式ln(1+x)/lnx>x/1+x
问题描述：
证明:当x>1时.不等式ln(1+x)/lnx>x/1+x
答
证明：[ln(1+x)/lnx]-[1/(1+x)]=[(1+x)ln(1+x)-xlnx]/[(1+x)lnx]=ln{[(1+x)^(1+x)]/(x^x)}/[(1+x)lnx]
=ln{(1+x)[(1+x)/x)]^x}/[(1+x)lnx]>0
这是因为x>1，故分母（1+x)lnx>0，而分子的真数(1+x)[(1+x)/x)]^x>1，从而ln{(1+x)[(1+x)/x)]^x}>0之故。
故原不等式成立。
答
设f（x）=xlnx,当x＞1时,有f‘（x）=lnx+1＞0,f（x）在（1,+∞）上单调递增,又1+x＞x,所以f（1+x）＞f（x）,即（1+x）ln（1+x）＞xlnx=>ln(1+x)/lnx＞x/(1+x)