是否存在常数abc使得等式1^2-2^2+3^2-4^2+...+[(-1)^n-1]*n^2=[(-1)^n-1]*(an^2+bn+c)是否存在常数abc使得等式1^2-2^2+3^2-4^2+...+(-1)^n-1*n^2=(-1)^n-1*(an^2+bn+c)对一切正整数n都成立.并证明你的结论.
问题描述：
是否存在常数abc使得等式1^2-2^2+3^2-4^2+...+[(-1)^n-1]*n^2=[(-1)^n-1]*(an^2+bn+c)
是否存在常数abc使得等式1^2-2^2+3^2-4^2+...+(-1)^n-1*n^2=(-1)^n-1*(an^2+bn+c)对一切正整数n都成立.并证明你的结论.
答
假设存在abc使得等式成立
当n=1时,1=a+b+c
当n=2时,1-4=-3=4a+2b+c
当n=3时,1-4+9=6=9a+3b+c
根据三个式子求出a=8 b=-28 c=21
则原式为1^2-2^2+3^2-4^2+...+(-1)^n-1*n^2=(-1)^n-1*(8n^2-28n+21)
再用数学归纳法证明一下就可以了
不是很难,就是满足一般的一定满足特殊的,用特殊的几个数带进去算一下求出值再证明就可以了