已知圆C （x-1)^2+(y-2)^2=25 直线l （2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0(m属于R).1）证m无论取何数,l总与圆有两个交点.2）求直线被圆截得弦长最小时的直线方程.要详解.
问题描述：
已知圆C （x-1)^2+(y-2)^2=25 直线l （2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0(m属于R).
1）证m无论取何数,l总与圆有两个交点.
2）求直线被圆截得弦长最小时的直线方程.
要详解.
答
计算量好象很大! 第一题的话你直接联立,再用根的判别式,这个时候应该没有m了,或者会恒大于零! 第二题的话,要求弦长最短,等于求圆心到直线最短距离,用点到直线公式,再用求最值得几个方法看看哪个合适
答
根据点到直线距离公式得圆心(1,2)到直线L的距离d=((2m+1)*1+(m+1)*2-7m-4)/√((2m+1)^2+(m+1)^2)=|3m+1|/√(5m^2+6m+2)=√(9m^2+6m+1)/(5m^2+6m+2)
原题义转化为求f(m)=(9m^2+6m+1)/(5m^2+6m+2)在m属于R上的最大值...
到这里已经很难算了,之后再求导,令导数大于零求最大值吧...
求出最大值后和圆半径5用勾股定理求出所截线段的最短长度的一半,再乘以2得最终答案.
一般思路应该是这样的.
但我后来想了下这道题应该是有简单方法,通过观察直线方程可知直线L：(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0恒过点(3,1),而点(3,1)又绝对在圆C内,所以圆心到点(3,1)的距离为上过程所求的d的最大值,即√(1-3)^2+(2-1)^2=√5,所以所截线段最短长度为2*√(5^2-5)=4√5