宽为a的走廊与另一走廊垂直相连，如果长为8a的细杆能水平地通过拐角，则另一走廊的宽度至少是多少？
问题描述：
宽为a的走廊与另一走廊垂直相连，如果长为8a的细杆能水平地通过拐角，则另一走廊的宽度至少是多少？
答
知识点：本题主要考查函数模型的建立与应用，解答关键是还利用三角函数的定义求出函数表达式，再利用导数法求函数最值等．
如图，设细杆与另一走廊一边的夹角为θ(0＜θ＜
)，π 2
设另一走廊的宽为y，∵AB＝
，BC＝8a−a cosθ
，∴y(θ)＝BCsinθ＝8asinθ−a cosθ
(0＜θ＜asinθ cosθ
)π 2
依题意必存在一个适当的0值使y最小．
由y′(θ)＝8acosθ−
＝8acosθ−asin2θ+acos2θ
cos2θ
a
cos2θ
令y'=0得cos3θ＝
，得csoθ＝1 8
，θ＝1 2
，π 3
当cosθ＜
时，y'＜0，当cosθ＞1 2
时，y'＞0，1 2
∴当cosθ＝
，即θ＝1 2
时，ymin3π 3
a，即另一走廊的宽度至少是3
3
a
3
答案解析：设细杆与另一走廊一边的夹角为θ(0＜θ＜
)，根据图可知y(θ)＝BCsinθ＝8asinθ−π 2
(0＜θ＜asinθ cosθ
)整理可得函数．“如果长为8a的细杆能水平地通过拐角，求另一走廊的宽度至少是多少”，关键看函数y（θ）的最小值，先研究其单调性，用导数法，先求导，由y'（θ）＞0，y（θ）为增函数，可知当 θ＝π 2
时，y（θ）有最小值，即可得到结论．π 3
考试点：在实际问题中建立三角函数模型．
知识点：本题主要考查函数模型的建立与应用，解答关键是还利用三角函数的定义求出函数表达式，再利用导数法求函数最值等．