设函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0），曲线y=f（x）通过点（0，2a+3），且在点（-1，f（-1））处的切线垂直于y轴．（1）用a分别表示b和c；（2）当b•c取得最小值时，求函数g（x）=-f（x）•ex的单调

问题描述：

设函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0），曲线y=f（x）通过点（0，2a+3），且在点（-1，f（-1））处的切线垂直于y轴．
（1）用a分别表示b和c；
（2）当b•c取得最小值时，求函数g（x）=-f（x）•e^x的单调区间．

答

（1）由f（x）=ax²+bx+c得到f'（x）=2ax+b．
因为曲线y=f（x）通过点（0，2a+3），故f（0）=c=2a+3，
又曲线y=f（x）在（-1，f（-1））处的切线垂直于y轴，故f'（-1）=0，
即-2a+b=0，因此b=2a．
（2）由（1）得bc=2a（2a+3）=4（a+

）²-

，
故当a=-

时，bc取得最小值-

．
此时有b=-

，c=

．
从而f（x）=-

x²-

，f′（x）=-

，g（x）=-f（x）e^x=（

x²+

）e^x，
所以g′（x）=-f′（x）e^x+（-f（x））e^x=

（x²+4x）e^x令g'（x）=0，解得x₁=0，x₂=-4．
当x∈（-∞，-4）时，g'（x）＞0，故g（x）在x∈（-∞，-4）上为增函数；
当x∈（-4，0）时，g'（x）＜0，故g（x）在x∈（-4，0）上为减函数．
当x∈（0，+∞）时，g'（x）＞0，故g（x）在x∈（0，+∞）上为增函数．
由此可见，函数g（x）的单调递增区间为（-∞，-4）和（0，+∞）；单调递增区间为（-4，0）．

设函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0），曲线y=f（x）通过点（0，2a+3），且在点（-1，f（-1））处的切线垂直于y轴． （1）用a分别表示b和c； （2）当b•c取得最小值时，求函数g（x）=-f（x）•ex的单调

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