若A是幂零矩阵,如何证明其特征值为0?若A为幂等矩阵,如何证明其特征值只能为0或1?
问题描述：
若A是幂零矩阵,如何证明其特征值为0?若A为幂等矩阵,如何证明其特征值只能为0或1?
答
有一个结论：
设P(x)为一个多项式
A的特征值为a1,a2,...,an
那么P(A)的特征值为P(a1),P(a2),...P(an)
那么A^n=0,而0矩阵的特征值均为0
则特征值a^n=0即a=0
对于A^2=A,即A^2-A=0
那么a^2-a=0
所以特征值a=1或0