已知双曲线C的中心是原点,右焦点F(根号3,0),一条渐近线m:x+根号2y=0,设过点A(-3根号2,0)的直线l的方向向量e=(1,K) 求双曲线C的方程 我给出的答案是这样的 设双曲线的方程为X^2-2y^2=λ所以 λ+λ/2=3 这是为什么?
问题描述：
已知双曲线C的中心是原点,右焦点F(根号3,0),一条渐近线m:x+根号2y=0,设过点A(-3根号2,0)的直线l的方向向量
e=(1,K) 求双曲线C的方程 我给出的答案是这样的 设双曲线的方程为X^2-2y^2=λ
所以 λ+λ/2=3 这是为什么?
答
因为一条渐近线为x+√2y=0，且焦点在x轴上，
所以b/a=1/√2，即b²=a²/2，
设a²=λ，则b²=λ/2，双曲线的方程为X²/λ-2y²/λ=1(即X^2-2y^2=λ)，
又c=√3，所以λ+λ/2=3，λ=2，故双曲线方程是X²/2-y²=1。
【一般地，若渐近线方程是mx±ny=0，则可设双曲线方程为m²x²-n²y²=λ (λ≠0)，
必有a²+b²=|λ|/m²+|λ|/n²=c²(根据焦点在x轴或y轴来判断λ的正负)。】
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答
在方程：X^2-2y^2=λ 的两边除以λ：
x^2/λ-y^2/(λ/2)=1
（要把双曲线方程化为标准方程!）
焦点在x轴上,所以λ>0,
a^2=λ,b^2=λ/2,c^23
在双曲线中,有
a^2+b^2=c^2
即是：λ+λ/2=3 .