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已知在△ABC中，A＞B，且tanA与tanB是方程x2-5x+6=0的两个根．（Ⅰ）求tan（A+B）的值；（Ⅱ）若AB=5，求BC的长．

分类: 作业答案 • 2021-12-20 01:12:43
问题描述：

已知在△ABC中，A＞B，且tanA与tanB是方程x2-5x+6=0的两个根．
（Ⅰ）求tan（A+B）的值；
（Ⅱ）若AB=5，求BC的长．

答

（Ⅰ）由所给条件，方程x2-5x+6=0的两根tanA=3，tanB=2．（2分）
∴tan(A+B)＝

tanA+tanB
1−tanAtanB
（4分）
=
2+3
1−2×3
＝−1（6分）
（Ⅱ）∵A+B+C=180°，∴C=180°-（A+B）．
由（Ⅰ）知，tanC=-tan（A+B）=1，
∵C为三角形的内角，∴sinC＝
 2
2
（8分）
∵tanA=3，A为三角形的内角，∴sinA＝
3
 10
，（10分）
由正弦定理得：
AB
sinC
＝
BC
sinA
（11分）
∴BC＝
5
 2
2
×
3
 10
＝3
 5
．（12分）
答案解析：先由根系关系得出tanA与tanB和与积，（I）由正切的和角公式代入求值；
（II）由A＞B，以及A，B，A+B的正切值，解出相应角的正弦值，由正弦定理求线段BC的长．
考试点：一元二次方程的根的分布与系数的关系；两角和与差的正切函数；正弦定理．
知识点：考查的考点是一元二次方程的根的分布与同角三角函数的关系以及两角和的正切公式，正弦定理．知识涉及较多，综合性强．

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