已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，f（x）在点x=0处取得极值，并且在单调区间[0，3]和[5，6]上具有相反的单调性．（1）求实数b的值；（2）求实数a的取值范围．
问题描述：
已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，f（x）在点x=0处取得极值，并且在单调区间[0，3]和[5，6]上具有相反的单调性．
（1）求实数b的值；
（2）求实数a的取值范围．
答
（1）f′（x）=3x2+2ax+b，∵f（x）在点x=0处取得极值，∴f′（0）=0，解得b=0．∴f′(x)=3x2+2ax=3x(x+2a3)．可知a≠0时，b=0时，f′（x）在x=0处的左右符号相反，因此函数f（x）在点x=0处取得极值．（2）由（1）可...
答案解析：（1）f′（x）=3x2+2ax+b，由f（x）在点x=0处取得极值，可得f′（0）=0，解得b=0．
可得f′(x)=3x2+2ax=3x(x+
)．利用取得2a 3
可知a≠0时，b=0时，利用取得极值的条件即可得出．
（2）由于f（x）在单调区间[0，3]和[5，6]上具有相反的单调性．
可知：f′（x）区间[0，3]和[5，6]上具有相反的符号．分为以下两种情况：
1°若f′（x）区间[0，3]上f′（x）＞0，则[5，6]上f′（x）＜0．
2°若f′（x）区间[0，3]上f′（x）＜0，则[5，6]上f′（x）＞0．对a分类讨论即可．
考试点：函数在某点取得极值的条件．
知识点：熟练掌握利用导数研究函数取得极值的条件、单调性、二次函数的单调性是解题的关键．