(1)如图,顺次连接正方形ABCD的各边中点,得到一个小正方形EFGH.则正方形EFGH与正方形ABCD的面积比是多少?(2)依次连接矩形、菱形和平行四边形的各边中点,所得四边形与原四边形的面积比是多少?(3)对于任意四边形,是否也有类似结论?

问题描述:



(1)如图,顺次连接正方形ABCD的各边中点,得到一个小正方形EFGH.则正方形EFGH与正方形ABCD的面积比是多少?
(2)依次连接矩形、菱形和平行四边形的各边中点,所得四边形与原四边形的面积比是多少?
(3)对于任意四边形,是否也有类似结论?

(1)如图1,连接AC、BD.
∵点E、F分别是AB、BC边上的中点,
∴EF是△ABC的中位线,
∴EF=

1
2
AC,且EF∥AC.
同理,HG=
1
2
AC,且HG∥AC,
∴EF=HG,且EF∥HG,
∴四边形EFGH是平行四边形.
∴EH∥FG,EH=FG=
1
2
BD.
又∵四边形ABCD是正方形,
∴AC⊥BD,
∴EF⊥EH,
∴S四边形EFGH=EF•EH=
1
2
BD•
1
2
AC=
1
2
S正方形ABCD
∴S四边形EFGH:S正方形ABCD=1:2.即正方形EFGH与正方形ABCD的面积比是1:2;
(2)如图2,依次连接菱形的各边中点.
∵点E、F分别是AB、BC边上的中点,
∴EF是△ABC的中位线,
∴EF=
1
2
AC,且EF∥AC.
同理,HG=
1
2
AC,且HG∥AC,
∴EF=HG,且EF∥HG,
∴四边形EFGH是平行四边形.
∴EH∥FG,EH=FG=
1
2
BD.
又∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,
∴EF⊥EH,
∴S四边形EFGH=EF•EH=
1
2
BD•
1
2
AC=
1
2
S正方形ABCD
同理,依次连接矩形和平行四边形的各边中点,所得四边形与原四边形的面积比是1:2.
(3)由(2)得,对于任意四边形,依次连接四边形的各边中点,所得四边形与原四边形的面积比是1:2.
答案解析:(1)根据已知可求得ABCD的边长及对角线的长,根据中位线的性质可得到EFGH的边长,从而可求得其面积.
(2)根据菱形的性质、矩形的判定定理可以证得四边形EFGH是矩形.由三角形中位线定理和矩形的面积公式进行填空.
考试点:中点四边形.
知识点:本题考查了中点四边形.解答该时,利用了三角形中位线定理,菱形的对角线互相垂直平分的性质,以及矩形的判定与性质.