如图，⊙O是△ABC的内切圆，与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，∠DEF=45度．连接BO并延长交AC于点G，AB=4，AG=2． （1）求∠A的度数； （2）求⊙O的半径．
问题描述：
如图，⊙O是△ABC的内切圆，与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，∠DEF=45度．连接BO并延长交AC于点G，AB=4，AG=2．
（1）求∠A的度数；
（2）求⊙O的半径．
答
（1）连接OD，OF，
∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴OD⊥AB，OF⊥AC，又∠DOF=2∠DEF=2×45°=90°，
∴∠ODA=∠OFA=∠DOF=90°，
∴四边形ADOF是矩形，
∴∠A=90°；
（2）设⊙O的半径为r，
由（1）知四边形ADOF是矩形，又OD=OF，
∴四边形ADOF是正方形．
∴OD∥AC．
∴△BOD∽△BGA．
∴
＝DO AG
．BD BA
即
＝r 2
，4−r 4
解得r=
．4 3
∴⊙O的半径为
．4 3