如图,已知Rt△ABC,∠ACB=90°,AC=BC=1,点P在斜边AB上移动(点P不与点A、B重合),以点P为顶点作∠CPQ=45°,射线PQ交BC边与点Q,BQ=0.5,试求AP的长.

第一题
∵∠BPC是△APC的外角
∴∠BPC＝∠A＋∠ACP
∵∠BPC＝∠CPQ＋∠BPQ∠CPQ＝∠A＝45°
∴∠ACP＝∠BPQ
∴△APC∽△BQPAP/BQ＝AC/BPAP/ BQ＝AC/（√2－AP）
解得（√2AP－1）^2＝1 即AP＝√2/2
第二题
设抛物线方程 y＝ax^2＋bx＋3,由抛物线过点A（2,0）,
则4a＋2b＝-3由抛物线对称轴x=4,则-b/2a=4,b=-8a代入得
a =1/4,b=-2即抛物线方程y=（1/4）x^2－2x＋3
第三题
△CPQ可以是等腰三角形,分三种情况：
（1）设∠CPQ=∠PCQ=45°,PQ=CQ, 则∠ACP=45°,CP是∠ACB的角平分线,由于△ABC是等腰三角形,∠ACB是顶角,根据等腰三角形的“三线合一”性质,得CP是斜边AB的中线,则AP=1/2AB=√2/2
（2）设∠CPQ=∠CQP=45°,PC=CQ,则 ∠PCQ=90°,则点P和点A重合,不合题意,舍去
（3）设 ∠PQC=∠PCQ=67.5° ,PQ=PC,设CQ＝2x,过点P作直线PD垂直
BC交BC于点D,则CD＝DQ＝x,过点P作PE垂直AC交AC于点E,
则AE＝PE=CD=x,PQ^2=PC^2=x^2+(1-x)^2,则在△CPQ中,由三角形余弦定理,
cos∠CPQ=(CP^2+PQ^2-CQ^2)/2PC?PQ
则（2（x^2+(1-x)^2）-（2x）^2）/(2（x^2+(1-x)^2））=cos45°=√2/2
解得（√2x+1)(2x+√2-2)=0得x=-√2/2(舍去) 或 x=(2-√2)/2
即CD=PE=(2-√2)/2,由勾股定理,得AP=√2-1
第四题
（1）由题意,设抛物线方程 y＝a（x＋1）（x－3）＝a（x－1）^2＝4a,
则顶点D（1,－4a）
（2）由题意,点C（0,-3a）,BC^2＝BO^2＋CO^2=9＋9（a^2）,
BD^2＝（3－1）^2＋（4a）^2=4＋16（a^2）,CD^2＝1＋a^2,由于BD是⊙M直径,且⊙M过点C,则CD⊥BC,BC^2＋CD^2＝BD^2
解得a＝1 或a＝-1（舍去）,则抛物线方程y＝x^2－2x－3
（3）四边形BOCD面积S=1/2×（3＋4）×1＋1/2×2×4=15/2
PS：题目中附注的图应该是第四题吧,以后如果有注明“如图”字样,应该注意附图,数学是比较重视图文结合的；第三题要用到余弦定理,其他方法很难用,特别是相似；
给点分数效果就不一样嘛,如果你以后想要问题目,可以找Q：894160244