如图，在矩形ABCD中，AB=33，BC=3，沿对角线BD将BCD折起，使点C移到点C′，且C′在平面ABD的射影O恰好在AB上 （1）求证：BC′⊥面ADC′； （2）求二面角A-BC′-D的正弦值．
问题描述：
如图，在矩形ABCD中，AB=3
，BC=3，沿对角线BD将BCD折起，使点C移到点C′，且C′在平面ABD的射影O恰好在AB上
3
（1）求证：BC′⊥面ADC′；
（2）求二面角A-BC′-D的正弦值．
答
（1）由题意可得，C′O⊥平面ABD，
∵DA⊂平面ABD，
∴C′O⊥DA，
由题意可知，∠DAB=90°，即DA⊥AB，且C′O∩AB=O，
∴DA⊥平面C′AB，又BC′⊂平面C′AB，
∴BC′⊥DA，
又∠BC′D=∠BCD=90°，即BC′⊥C′D，且C′D∩DA=D，
∴BC′⊥平面ADC′；
（2）根据（1）可知，BC′⊥平面ADC′，
∵AC′⊂平面ADC′，DC′⊂平面ADC′，
∴BC′⊥AC′，BC′⊥DC′，
∴∠AC′D即为二面角A-BC′-D的平面角，
又由（1）知，DA⊥平面C′AB，
∵AC′⊂平面C′AB，
∴DA⊥AC′，即△DAC′为直角三角形，
在直角三角形DAC′中，DA=BC=3，DC′=DC=AB=3
，
3
∴sin∠AC′D=
=DA DC′
=3 3
3
，
3
3
故二面角A-BC′-D的正弦值为
．
3
3