已知函数f(x)=a/3x3−a+1/2x2+x+b,其中a,b∈R. (Ⅰ)若曲线y=f(x)在点P(2,f(2))处的切线方程为y=5x-4,求函数f(x)的解析式; (Ⅱ)当a>0时,讨论函数f(x)的单调性.
问题描述:
已知函数f(x)=
x3−a 3
x2+x+b,其中a,b∈R.a+1 2
(Ⅰ)若曲线y=f(x)在点P(2,f(2))处的切线方程为y=5x-4,求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)当a>0时,讨论函数f(x)的单调性.
答
(Ⅰ)f'(x)=ax2-(a+1)x+1,
由导数的几何意义得f'(2)=5,于是a=3.
由切点P(2,f(2))在直线y=5x-4上可知2+b=6,解得b=4.
所以函数f(x)的解析式为f(x)=x3-2x2+x+4.
(Ⅱ)f′(x)=ax2−(a+1)x+1=a(x−
)(x−1),1 a
当0<a<1时,
>1,函数f(x)在区间(-∞,1)及(1 a
,+∞)上为增函数;1 a
在区间(1,
)上为减函数;1 a
当a=1时,
=1,函数f(x)在区间(-∞,+∞)上为增函数;1 a
当a>1时,
<1,函数f(x)在区间(− ∞,1 a
)及(1,+∞)上为增函数;1 a
在区间(
,1)上为减函数.1 a