已知正方形ABCD的边长是13，平面ABCD外一点P到正方形各顶点的距离都为13，M、N分别是PA、BD上的点且PM：MA=BN：ND=5：8，如图．（1）求证：直线MN∥平面PBC；（2）求线段MN的长．

分类: 作业答案 • 2021-12-19 21:44:51

问题描述：

已知正方形ABCD的边长是13，平面ABCD外一点P到正方形各顶点的距离都为13，M、N分别是PA、BD上的点且PM：MA=BN：ND=5：8，如图．

（1）求证：直线MN∥平面PBC；
（2）求线段MN的长．

答

（1）证明：连结AN并延长和BC交于E点，由PM：MA=BN：ND=5：8，可得EN：NA=BN：ND=MP：MA=5：8，
即

，∴MN∥PE，而MN⊄平面PBC，PE⊂面PBC，
∴MN∥平面PBC．
（2）由于△PBC是边长为13的等边三角形，
余弦定理求得PE²=PB²+BE²-2PB•EBcos60°=13²+(

)2-2×13×

8281

，
∴PE=

．
由于△AMN 与△APE的相似比为

，∴MN=

PE=7．

已知正方形ABCD的边长是13，平面ABCD外一点P到正方形各顶点的距离都为13，M、N分别是PA、BD上的点且PM：MA=BN：ND=5：8，如图． （1）求证：直线MN∥平面PBC； （2）求线段MN的长．